[NOIp 2015]子串-白红宇

[NOIp 2015]子串

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发布时间：2019-06-13

本文共 2194 字，大约阅读时间需要 7 分钟。

Description

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

Input

输入文件名为 substring.in。

第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。

Output

输出文件名为 substring.out。输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。由于答案可能很大,所以这里要求输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。

Sample Input1

6 3 1 aabaab aab

Sample Output1

Sample Input2

6 3 2 aabaab aab

Sample Output2

Sample Input3

6 3 3 aabaab aab

Sample Output3

Sample Explanation

所有合法方案如下：（加下划线的部分表示取出的子串）

样例一：aab aab / aab aab

样例二：a ab aab / a aba ab / a a ba ab / aab a ab / aa b aab / aa baa b / aab aa b

样例三：a a b aab / a a baa b / a ab a a b / a aba a b / a a b a a b / a a ba a b / aab a a b

HINT

题解

100分算法:

1、设状态$f[i][j][k]$为$A$串第$i$个匹配$B$串第$j$个,此时分了$k$段的方案数,$g[i][j][k]$表示$A$串前$i$个和$B$串前$j$个,此时分了$k$段的方案数;

两者之间的区别在于$f[i][j][k]$必须满足$a[i]==b[j]$。

2、转移如下:

$$f[i][j][k]=(f[i-1][j-1][k]+g[i-1][j-1][k-1])×(a[i]==b[j])$$

$$g[i][j][k]=g[i-1][j][k]+f[i][j][k]$$

类似于最长公共子序列的思想。

边界情况是$f[0][0][0]=g[0][0][0]=1$,最后的答案就是$g[n][m][k]$。

3、实现方面要用滚动数组优化，我们考虑将第一维滚动，那么初始化时还要将$f[1][0][0]=g[1][0][0]=1$，样例就很好解释为什么;

4、时间复杂度:$O(n*m*k)$,空间复杂度$O(m*k)$。

1 #include
     
       2 #include
       3 #include
       
         4 #include
        
          5 #include
         
           6 #include
          
            7 #include
           
             8 #include
            
              9 #include
             
              10 #include
              
               11 #include
               
                12 #include
                
                 13 #include
                 
                  14 #define LL long long15 #define Max(a,b) ((a)>(b) ? (a):(b))16 #define Min(a,b) ((a)<(b) ? (a):(b))17 using namespace std;18 const int MOD=1000000007;19 const int N=1000;20 const int M=200;21 22 int n,m,K;23 char a[N+5],b[M+5];24 int f[2][M+5][M+5],g[2][M+5][M+5];25 bool t;26 27 int main()28 {29 scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);30 scanf("%s%s",a+1,b+1);31 f[0][0][0]=f[1][0][0]=g[0][0][0]=g[1][0][0]=1;32 for (int i=1;i<=n;i++)33 {34 　　　　 t=!t;35 　　　 　for (int j=1;j<=m;j++)36 　　 　　for (int k=1;k<=K;k++)37 　　　　f[t][j][k]=((f[!t][j-1][k]+g[!t][j-1][k-1])*(a[i]==b[j]))%MOD,38 　　　　g[t][j][k]=(g[!t][j][k]+f[t][j][k])%MOD;39 }40 printf("%d\n",g[t][m][K]);41 return 0;42 }

转载于:https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/7455507.html

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